Question

【題目】已知函數，設，，其中，．

（1）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）記，求證：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求得導函數，代入求得的解析式，在區間上單調遞增，可知，在區間上恒成立，即在上恒成立．構造輔助函數求導，利用導數求得函數的最小值，即可求得的取值范圍；（2）由（1）求得的解析式．進一步化解，構造輔助函數，求導，利用導數求的函數的單調區間及最小值，即可求得．

試題解析：解：（1）函數，，

所以函數，∵函數在區間上單調遞增，

∴在區間上恒成立，所以在上恒成立．

令，則，當時，，

∴，∴實數的取值范圍為．

（2），

令，則

．

令，則，顯然在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則，則，故．