Question

已知函數(shù)f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）的單調(diào)性；
（2）若m＜一2，求函數(shù)f（x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[-2，2]）的最值；

Answer 1

分析：（1）用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，第一步先求導(dǎo)數(shù)，第二步判斷，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．（2）先構(gòu)造函數(shù)，再判斷其單調(diào)性，然后求最值．

解答：解：（1）∵f′1(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

（2分）
則當(dāng)m＞0時(shí)，在（-2，2）上函數(shù)f₁（x）單調(diào)遞增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調(diào)遞減．（4分）
當(dāng)m＜0時(shí)，在（-2，2）上函數(shù)f₁（x）單調(diào)遞減；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調(diào)遞增．（6分）

（2）由m＜-2，，-2≤x≤2，可得f2(x)=(

1

2

)x-m=2m•(

1

2

)x（8分）
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x
由（1）知，當(dāng)m＜-2，-2≤x≤2時(shí)，f₁（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，
而f2(x)=2m•(

1

2

)x在[-2，2]上也是減函數(shù)（10分）
∴當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取最大值4•2m-

m

16

=2m+2-

m

16

，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最小值2m-2+

m

16

（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，同進(jìn)考查了求最值或值域時(shí)，必須先研究單調(diào)性．