Question

已知直線y=-x+1與橢圓（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；
（2）在（1）的橢圓中，設(shè)橢圓的左焦點為F₁，求△ABF₁的面積．

Answer 1

解：（1）∵橢圓的離心率為，焦距為2，
∴
∴c=1，a=
∴，
∴橢圓的方程為．
直線y=-x+1與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得：5x²-6x-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|=|x₁-x₂|=×=；
（2）由（1）可知橢圓的左焦點坐標(biāo)為F₁（-1，0），直線AB的方程為x+y-1=0，
所以點F₁到直線AB的距離d==，
又|AB|=，
∴△ABF₁的面積S=|AB|•d==．
分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，焦距為2，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，可求線段AB的長；
（2）求出點F₁到直線AB的距離，即可求△ABF₁的面積．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．