Question

等差數列{a_n}中，a₁=25，S₁₇=S₉，問數列前多少項之和最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：解法一，由等差數列的求和公式可得17a₁+

17×16

2

d=9a₁+

9×8

2

d，解之可得d=-2，進而可得S_n=-n²+26n，由二次函數的性質可得；解法二，求出公差后可得通項，由a_n-1≤a_n≤a_n+1可得n的范圍，結合n為自然數可得結論．

解答：解：解法一：∵a₁=25，S₁₇=S₉，
∴17a₁+

17×16

2

d=9a₁+

9×8

2

d，解得d=-2．
∴S_n=25n+

n(n-1)

2

×（-2）
=-n²+26n=-（n-13）²+169．
由二次函數的知識可知：當n=13時，
S₁₃=169，即前13項之和最大，最大值為169．
解法二：同方法一：得d=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，由a_n-1≤a_n≤a_n+1，
可解得

25

2

≤n≤

27

2

，又∵n∈N^*，
∴當n=13時，S_n取得最大值，最大值為169．

點評：本題考查等差數列的性質，涉及二次函數的性質，屬中檔題