Question

已知直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

(t為參數），C2：

x=cosθ y=sinθ

(θ為參數）．
（1）當α=

π

3

時，求C₁被C₂截得的弦長；
（2）過坐標原點O作C₁的垂線，垂足為A，當α變化時，求A點的軌跡的參數方程．

Answer 1

分析：（1）先消去參數將曲線C₁與C₂的參數方程化成普通方程，再利用圓的性質結合圓心O到直線C₁的距離，求出C₁被C₂截得的弦長即可，
（2）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，利用兩線的垂直關系得出直線OA的方程，再聯立兩直線的方程求出交點的坐標，即得A點軌跡的參數方程．

解答：解：（1）C₁的普通方程為y=

3

(x-1)，C₂的普通方程為x²+y²=1，…（2分）
∴圓心O到直線C₁的距離d=

3

2

，
∴C₁被C₂截得的弦長2

1- 3 4

=1． …（4分）
（2）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，
∴直線OA：y=-

cosα

sinα

x，…（6分）
由

xsinα-ycosα-sinα=0 y=- cosα sinα x

得A（sin²α，-sinαcosα）…（8分）
∴A點的軌跡的參數方程

x=sin2α y=-sinαcosα

(α為參數）．                …（10分）

點評：本題主要考查直線與圓的參數方程，參數方程與普通方程的互化，利用參數方程研究軌跡問題的能力．