Question

【題目】已知函數.

（1）求在點處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求k的取值范圍；

（3）求證：當時，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）求出函數的導函數，利用導數的幾何意義即可得到切線方程；

（2）由，即，構造函數，求導函數研究單調性，進而得的最大值，即得的取值范圍；

（3）由（2）可知：當時，恒成立，令，整理得：，將兩邊不等式全相加即可得到結論.

（1）函數的定義域為，

，，

∵，∴函數在點處的切線方程為，

即.

（2）由，，則，即，

設，，

，，單調遞增，

，，單調遞減，

∵不等式恒成立，且，

∴，∴即可，故.

（3）由（2）可知：當時，恒成立，

令，由于，.

故，，整理得：，

變形得：，即：時，，……，

兩邊同時相加得：，

所以不等式在上恒成立.