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如圖,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2,DE∥AB,DE=1,∠CBD=60°,F為AC的中點.
(I)求點A到平面BCE的距離;
(II)證明:平面ABC⊥平面ACE;
(III)求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小.

【答案】分析:(I)由AB=BC=BD=2,∠CBD=60°,DE=1,知CD=2,CE=BE=,設點A到平面BCE的距離為h,由VA-BCE=VC-ABE,得,由此能求出點A到平面BCE的距離.
(II)由AB=BC,F為AC中點,知BF⊥AC,取BC中點G,連EF,FG,GD,FG∥DE∥AB,FG=DE=,故四邊形FGDE為平行四邊形,EF∥DG,由G為BC中點,BD=CD,知DG⊥BC,由此能夠證明平面ABC⊥平面ACE.
(III)延長AE于BD交于點H,連CH,則CH是平面ACE與面BCD的交線,在△BCH中,由BC=2,BH=4,∠BCD=60°,知BC⊥CH,由AB⊥平面BCD,知AC⊥CH,故∠ACB即為所求的二面角的平面角,由此能求出平面BCD與平面ACE所成二面角的大小.
解答:解:(I)∵AB=BC=BD=2,
∠CBD=60°,DE=1,
∴CD=2,CE=BE=



∵DE∥AB,
∴ABDE是平面圖形,
∵AB⊥平面BCD,
∴BD⊥AB,
∵AB=BD=2,
=2,
作CM⊥BD,交BD于M,
∵BC=BD=CD=2,
∴CM=
∵AB⊥平面BCD,
∴CM⊥AB,
∴CM⊥面ABDE,即CM是棱錐C-ABE的高,
設點A到平面BCE的距離為h,
由VA-BCE=VC-ABE,得

即點A到平面BCE的距離為
(II)∵AB=BC,F為AC中點,
∴BF⊥AC,
取BC中點G,連EF,FG,GD,FG∥DE∥AB,FG=DE=
故四邊形FGDE為平行四邊形,EF∥DG,
∵G為BC中點,BD=CD,∴DG⊥BC,
∵AB⊥面BCD,∴AB⊥DG,
∵DG⊥面ABC,∴DG⊥BF,∴EF⊥BF,
∴BF⊥面ACE,
∴平面ABC⊥平面ACE.
(III)延長AE于BD交于點H,連CH,
則CH是平面ACE與面BCD的交線,
在△BCH中,
∵BC=2,BH=4,∠BCD=60°,
∴BC⊥CH,
∵AB⊥平面BCD,
∴AC在平面BCD中的射影為BC,
∴AC⊥CH,
故∠ACB即為所求的二面角的平面角,
在△ABC中,AB⊥BC,且AB=BC,∴∠ACB=45°,
故平面BCD與平面ACE所成二面角為45°.
點評:本題考查點A到平面BCE的距離的求法,證明平面ABC⊥平面ACE,求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小.解題時要認真審題,注意合理地把空間問題等價轉化為平面問題.
練習冊系列答案
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