Question

已知定點及橢圓,過點的動直線與橢圓相交于兩點．

   （1）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

   （2）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：

 （1）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為,

將代入,

消去整理得，         …………………  2 分

設,

① ②

則                     

由線段中點的橫坐標是，

得，解得，適合①

所以直線的方程為或；  ……………… 5分

   （2）假設在軸上存在點，使為常數．

   （ⅰ）當直線與軸不垂直時，由（1）知

 ，   ③

所以

；       …………………………7分

將③代入，整理得

 ，     

注意到是與無關的常數，從而有，

此時 ；       ……………………………………………… 10分

   （ⅱ）當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，

當時，亦有 ；

綜上，在軸上存在定點，使為常數. ……………  12分

【解析】略