Question

已知函數y＝f(x)的圖象是自原點的一條折線，當n≤y≤n＋l(n＝0，1，2，…)時，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數b≠1)，該數列｛xn｝由f(xn)＝n(n＝1，2，…)定義． (1) 求x1、x2和xn的表達式 (2) 求f(x)的表達式，并寫出其定義域 (3) 證明：y＝f(x)的圖象與y＝x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(1)依題意f(0)＝0，又由f(x1)＝1，當0≤y≤1時，函數y＝f(x)的圖象是斜率為＝1的線段，故由＝1，得x1＝1． 　　又由f(x2)＝2，當1≤y≤2時，函數y＝f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由＝b，即x2－x1＝，得x2＝1＋． 　　記x0＝0，由函數y＝f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn+1，故得＝bn－1． 　　又f(xn)＝n，f(xn－1)＝n－1，∴xn－xn－l＝()n－1，n＝1，2，…，所以數列｛xn－xn－1｝為等比數列，其首項為1，公比為． 　　因b≠1，得xn＝＝1＋＋…＋＝，即xn＝(nN*)．
(2)	當0≤y≤1，從(1)可知y＝x，即當0≤x≤1時，f(x)－x；當n≤y≤n＋1時，即當xn≤x≤xn+1時，由(1)可知f(x)＝n＋bn(x－xn)(xn≤x≤xn+1，n＝1，2，3，…)． 　　為求函數f(x)的定義域，須對xn＝(n＝1，2，3，…)進行討論． 　　當b＞1時，＝＝ 　　當0＜b＜1時，n→∞，xn也趨向于無窮大． 　　綜上，當b＞l時，y＝f(x)的定義域為［0，)；當0＜b＜1時．y＝f(x)的定義域為［0，＋∞］．
(3)	首先證明當b＞1，1＜x＜時，恒有f(x)＞x成立． 　　對任意的x∈(1，)，存在xn，使xn＜x≤xn+1 　　此時有f(x)－f(xn)＝bn(x－xn)＞x－xn(n≥1) 　　∴f(x)－x＞f(xn)－xn． 　　又f(xn)＝n＞1＋＋…＋＝xn 　　∴f(xn)－xn＞0，∴f(x)－x＞f(xn)－xn＞0．即有f(x)＞x成立． 　　其次，當b＜1，仿上述證明．可知當x＞1時，恒有f(x)＜x成立． 　　故函數f(x)的圖象與y＝x的圖象沒有橫坐標大于1的交點． 　　點評：此題是一道數列、函數、解析幾何以及不等式的綜合題．有利于培養學生綜合解決問題的能力．