Question

設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

（1） （2）11

試題分析：
（1）根據題意求出的坐標與A點的坐標，帶入式子，即可求出a的值，進而得到橢圓M的方程.
（2）設圓的圓心為，則可以轉化所求內積，
，故求求的最大值轉化為求的最大值．N點為定點且坐標已知，故設出P點的坐標且滿足橢圓方程，帶入坐標公式利用二次函數求最值的方法即可求出NP的最值，此外還可以利用參數方程來求解NP的最值.
試題解析：
（1）由題設知，，，  1分
由，得．  2分
解得．                                    3分
所以橢圓的方程為．            4分
（2）方法1：設圓的圓心為，
則  5分
 6分
． 7分
從而求的最大值轉化為求的最大值．  8分
因為是橢圓上的任意一點，設，  9分
所以，即．    10分
因為點，所以．     11分
因為，所以當時，取得最大值12．     13分
所以的最大值為11．                    14分
方法2：設點，
因為的中點坐標為，所以          5分
所以          6分
 
．        8分
因為點在圓上，所以，即．  9分
因為點在橢圓上，所以，即．      10分
所以．         12分
因為，所以當時，．      14分
方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為，     5分
由，解得．            6分
因為是橢圓上的任一點，設點，所以，即 7分
所以，    8分
所以． 9分
因為，所以當時，取得最大值11．   11分
②若直線的斜率不存在，此時的方程為，
由，解得或．不妨設，，．  12分
因為是橢圓上的任一點，設點，所以，即．
所以，．
所以．
因為，所以當時，取得最大值11．    13分
綜上可知，的最大值為11．                14分