Question

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且·=0，|BC|=2|AC|.

（1）建立適當的坐標系，求橢圓的方程；

（2）如果橢圓上兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直AO，是否總存在實數λ,使=λ?請給出說明.

Answer 1

解：（1）設O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，則A（2，0），設橢圓方程為=1.

∵·=0,又|BC|=2|AC|,

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴C（1，±1）.

    將C（1，±1）代入橢圓方程得b²=,即橢圓方程為+y²=1.

（2）不妨取C（1，1），依題意可設PC：y=k（x-1)+1,QC:y=-k(x-1)+1.

∵C(1,1)在橢圓上，x=1是方程（1+3k²）x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0的一個根，

∴x_P·1=,用-k代換x_P中的k得x_Q=,

∴k_PQ==.

∵B(-1,-1),∴k_AB=,∴∥,因此總存在實數λ,使=λ.