Question

（2013•寶山區(qū)二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點(diǎn)．
（1）求直線EC與平面B₁BCC₁所成角的大小；
（2）求二面角E-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出線面角；
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角的大小．

解答：（1）解：建立坐標(biāo)系如圖 所示，
則平面B₁BCC₁的一個(gè)法向量為

n1

=(0，1，0)
∵E（2，1，2），C（0，2，0），
∴

EC

=(-2，1，-2)，
可知直線EC的一個(gè)方向向量為

d

=(-2，1，-2)．
設(shè)直線EC與平面B₁BCC₁成角為θ，
則sinθ=|cos＜

d

，

n1

＞|=

| d • n1 |

| d | | n1 |

=

1

9 ×1

=

1

3

．
故直線EC與平面B₁BCC₁所成角的大小為arcsin

1

3

．
（2）由（1）可知：平面ABCD的一個(gè)法向量為

n

=(0，0，1)．
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為

n2

=(x，y，z)，
∵

AF

=(-2，1，0)，

AE

=(0，1，2)，∴

n2 • AF =0 n2 • AE =0

．得

-2x+y=0 y+2z=0

，
令x=1，則y=2，z=-1⇒

n2

=(1，2，-1)，
∴cos＜

n

，

n2

＞=

| n • n2 |

| n | | n2 |

=

1

6

=

6

6

．
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角，故其大小為arccos

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角得出線面角；利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的方法．必須熟練掌握．