Question

（2006•重慶一模）橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點，且

PF1

•

PF2

的最大值的取值范圍是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．則橢圓M的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．[

  1

  4

  ， 

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ， 

  2

  2

  ]
• C．[

  2

  2

  ， 1)
• D．[

  1

  2

  ， 1)

Answer 1

分析：先根據題意得到兩焦點的坐標，設出點P的坐標進而可表示出

PF1

、

PF2

，再得到二者的數量積后將 x2=

a2 (b2-y2)

b2

代入消去x得到關于y的關系式，進而可得到當y=0時

PF1

•

PF2

的值取到最大，進而可求出離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），設點P為（x，y）
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1∴x2=

a2 (b2-y2)

b2

∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)
∴

PF1

•PF2

=x²-c²+y²=

a2 (b2-y2)

b2

-c²+y²
=a2-c2-

c2y2

b2

當y=0時

PF1

•PF2

取到最大值a²-c²，即c²≤a²-c²≤3c²，
∴

2

c≤a≤2c，
∴

1

2

≤e≤

2

2

．故橢圓m的離心率e的取值范圍 [

1

2

，

2

2

]．
故選B．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．