Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F₁，F₂，若P上其上一點，且

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，則雙曲線離心率的取值范圍為（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．(1，1+

  3

  ]
• C．(1，1+

  2

  ]
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中，

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，于是

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

①，結合題意

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

②，由①②即可求得雙曲線離心率的取值范圍．

解答：解：依題意，不妨設P點為雙曲線的右支上的一點，F₁為左焦點，F₂為右焦點，在△PF₁F₂中，由正弦定理得：

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

①，
又

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

②
由①②得：

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，由假設可知|PF₁|＞|PF₂|，
∴

|PF1|-|PF2|

|PF2|

=

c-a

a

，由雙曲線的定義知

2a

|PF2|

=

c-a

a

，
∴|PF₂|=

2a2

c-a

，由題意知|PF₂|≥c-a，
∴

2a2

c-a

≥c-a，即c²-2ac-a²≤0，
∴1＜

c

a

≤1+

2

．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，求得

|PF1|

|PF2|

=

c

a

是關鍵，也是難點，考查分析轉化解決問題的能力，屬于難題．