Question

【題目】已知圓M的圓心為M（﹣1，2），直線y=x+4被圓M截得的弦長為 ，點P在直線l：y=x﹣1上．
（1）求圓M的標準方程；
（2）設點Q在圓M上，且滿足 =4 ，求點P的坐標；
（3）設半徑為5的圓N與圓M相離，過點P分別作圓M與圓N的切線，切點分別為A，B，若對任意的點P，都有PA=PB成立，求圓心N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：點M到直線y=x+4的距離d= = ．

∴圓M的半徑r= =1．

∴圓M的標準方程為：（x+1）2+（y﹣2）2=1．

（2）解：∵點Q在圓M上，∴| |=1．

∴| |=4| |=4．

設P（a，b）則 ，解得 或 ．

∴點P坐標為（﹣1．﹣2）或（3，2）．

（3）設N（m，n），P（x，x﹣1），

∵PA，PB分別與圓M，圓N相切，

∴PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．

∵對任意點P，都有PA=PB，

∴（x+1）2+（x﹣3）2﹣1=（x﹣m）2+（x﹣1﹣n）2﹣25恒成立．

整理得：2（m+n﹣1）x+33﹣m2﹣n2﹣2n=0恒成立．

∴ ，解得 或 ．

∴N（5，﹣4）或N（﹣3，4）．

【解析】（1）求出M到直線y=x+4的距離，利用垂徑定理計算圓M的半徑，得出圓M的標準方程；（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用兩點間的距離公式列方程解出P點坐標；（3）由切線的性質可知PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．設N（m，n），P（x，x﹣1），列出方程，令關于x的方程恒成立得出m，n．