Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）證明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值；
（3）當

EF

=6

EP

時，求點P到平面ABE的距離．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直得到線與線垂直，根據直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，利用線面垂直的判定定理得到結果；
（2）延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角；
（3）建立空間直角坐標系，求出平面ABE的法向量，

AP

的坐標，利用距離公式可得結論．

解答：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2

3

，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

FC

EA

=

1

3

∴FC⊥平面ABC．∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）解：延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=

3

．
由

FC

EA

=

GC

GA

=

1

3

，得GC=2．∵BG=

BM2+MG2

=2

3

．
又∵△GCH∽△GBM，∴

GC

BG

=

CH

BM

，則CH=

GC•BM

BG

=1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

2

2

．
（3）解：以A為坐標原點，垂直于AC的直線，AC，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系
設P（0，y₀，z₀），∵E（0，0，3），F（0，4，1）
∴

EF

=（0，4，-2）∴

EP

=（0，y₀，z₀-3）
∵

EF

=6

EP

，∴

4=6y0 -2=6(z0-3)

，∴

y0= 2 3 z0= 8 3

∴P（O，

2

3

，

8

3

），
∴

AP

=（0，

2

3

，

8

3

）
∵BC⊥AB，BC⊥AE，AB∩AE=A
∴BC⊥平面ABE
∴平面ABE的一個法向量為

BC

=（-

3

，1，0）
∴d=

| BC • AP |

| BC |

=

1

3

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查應用向量知識解決數學問題的能力，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．