Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）.

解析試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立的問(wèn)題來(lái)處理，利用二次函數(shù)的最值的求法求的最大值，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)來(lái)處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用極值與最值的關(guān)系求出正數(shù)的值.
試題解析：（1）依題意，知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/86/1/1akek3.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，      2分
令，解得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/4/h6pk21.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        4分
（2），則有在上恒成立，
∴≥，             
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥     8分
（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/1/wjhkm2.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則令，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/f/odjtf.png" style="vertical-align:middle;" />所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，取最小值.     10分
則 即 
所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/77/6/1zpkx3.png" style="vertical-align:middle;" />所以     12分
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得