Question

設M是由滿足下列性質的函數f（x）構成的集合：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．已知下列函數：①f(x)=

1

x

；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中屬于集合M的函數是

 

（寫出所有滿足要求的函數的序號）．

Answer 1

分析：根據集合M的定義，可根據函數的解析式，f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）構造方程，若方程有根，說明函數符合集合M的定義，若方程無根，說明函數不符號集合M的定義，由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則

1

x+1

=

1

x

+1
即x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，故方程無解．即f(x)=

1

x

∉M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2^x+1=f（x）+f（1）=2^x+2成立，即f（x）=2^x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
故答案為：②④

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，及其它方程的解法，掌握判斷元素與集合關系的方法，即元素是否滿足集合的性質是解答本題的關鍵．