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(2013•深圳二模)已知動點 M 到點 F(0,1)的距離與到直線 y=4 的距離之和為 5.
(1)求動點 M 的軌跡 E 的方程,并畫出圖形;
(2)若直線 l:y=x+m 與軌跡 E 有兩個不同的公共點 A、B,求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求弦長|AB|的最大值.
分析:(1)設動點M的坐標為(x,y),根據兩點的距離公式結合題意建立關于x、y的等式,化簡整理得到x2=4y(y≤4)或x2=-16(y-5)(y>4),從而得到軌跡是由兩個拋物線弧連接而成,其圖形如圖所示;
(2)根據軌跡E的形狀,直線l:y=x+m分別將與拋物線段E1:y=
1
4
x2
(-4≤x≤4)和y=-
1
16
x2
+5((-4≤x≤4)聯解,得到直線l與軌跡E有唯一公共點的兩個界點處m的值,再將直線l平移進行觀察,即可得到實數m的取值范圍;
(3)結合(2)的結論,將兩個拋物線段E1與E2的方程與直線l方程聯解,可得交點A.B的橫坐標關于m的式子,運用兩點間的距離公式算出|AB|=
2
(xB-xA)=2
2
1+m
+2
9-m
-5).運用導數研究f(m)=
1+m
+2
9-m
(0≤m<8)的單調性,即可得到當m=1時,|AB|的最大值為20-10
2
解答:解:(1)設動點M的坐標為(x,y),根據題意得M的坐標滿足
x2+(y-1)2
+|y-4|=5
化簡整理,得x2=4y(y≤4)或x2=-16(y-5)(y>4)
其圖形是拋物線y=
1
4
x2
和y=-
1
16
x2
+5位于-4≤x≤4的部分,如右圖所示
(2)設拋物線y=
1
4
x2
和y=-
1
16
x2
+5位于-4≤x≤4的部分,分別記為
曲線E1和E2,可得E1與E2的公共點分別為C(-4,4)和D(4,4)
當直線l:y=x+m經過點C(-4,4),m=8
則由
y=x+8
y=-
x2
16
+5
,解得
x=-4
y=4
x=-12
y=-4

∵點(-12,4)不是拋物線段E2上的點
∴要使直線l:y=x+m與軌跡E有兩個不同的公共點,必須m<8
當線l:y=x+m與拋物線y=
1
4
x2
相切時,聯解直線與拋物線方程得切點坐標為(2,1),可得m=-1
因為切點(2,1)在曲線E1上,所以要使直線l:y=x+m與軌跡E有兩個不同的公共點,必須m>-1.
綜上所述,可得實數m的取值范圍為(-1,-8);
(3)當-1≤m<0時,直線l與軌跡E的兩個不同的公共點A、B均在拋物線段E1上,且0<|AB|≤OD=4
2

當0≤m<8時,直線l與軌跡E的兩個不同的公共點A、B分別在拋物線段E1上和拋物線段E2上,
且A點是直線l與拋物線y=
1
4
x2
的兩個交點中位于左下方的點,
B點是直線l與拋物線y=-
1
16
x2
+5的兩個交點中位于右上方的點(如圖所示)
y=x+m
y=
x2
4
,解之得x=2±2
1+m
,點A的橫坐標為xA=2-2
1+m

y=x+m
y=-
x2
16
+5
,解之得x=-8±4
9-m
,點B的橫坐標為xB=-8+4
9-m

∴|AB|=
2
(xB-xA)=2
2
1+m
+2
9-m
-5)
令f(m)=
1+m
+2
9-m
(0≤m<8)
由f'(m)=
1
2
1+m
-
1
9-m
=
9-m
-2
1+m
2
1+m
9-m
=
5(1-m)
2
1+m
9-m
(
9-m
+2
1+m
)

∴當m∈[0,1)時,f'(m)>0,f(m)是單調增函數;當m∈(1,8)時,f'(m)<0,f(m)是單調減函數
因此,當m=1時,f(m)取得最大值[f(m)]max=f(1)=5
2

即當m=1時,|AB|的最大值為20-10
2
點評:本題給出動點M滿足的條件,求M的軌跡方程,并討論了直線l與M的軌跡相交截得弦AB長度最大值.著重考查了拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系、利用導數研究函數的單調性和軌跡方程的討論等知識,屬于中檔題.
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