Question

已知函數f（x）=lnx+x，g（x）=

a

x

-x-1（a＞0）．
（I）求函數F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；
（II）對于正實數m，方程2mf（x）=x²有唯一實數根，求m的值．

Answer 1

分析：（I）把f（x）和g（x）代入函數F（x），對其進行求導，得到極值點，利用導數研究函數F（x）在（0，e]上的最小值；
（II）由方程2mf（x）=x²中唯一實數解，知x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．由此入手能夠推導出正數m的值．

解答：解：（I）函數F（x）=f（x）+g（x）=

a

x

-1+lnx的定義域為{x|x＞0}
因為F′（x）=-

a

x2

+

1

x

，a＞0時，解F′（x）＞0，即-

a

x2

+

1

x

＞0，
得x＞a，所以在（a，+∞）上F（x）單調遞增，
解F′（x）＜0，即-

a

x2

+

1

x

＜0，得0＜x＜a，
所以在（0，a）上，F（x）單調遞減，
因此：當a＜e時，函數在x=a處取得最小值F（a）=lna，
當a＞e時，函數在x=a處取得最小值F（e）=

a

e

綜上：當0＜a≤e時，函數F（x）在區間（0，e]上最小值F（a）=lna；
當a＞e時，函數F（x）在區間（0，e]上最小值F（e）=

a

e

；
（II）∵方程2mf（x）=x²中唯一實數解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，
∴g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有兩異號根，設為x₁0，
∵x＞0，∴x₁應舍去．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調遞增，
當x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 x 2 2 -mx2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
設函數h（x）=2lnx+x-1，
∵當x＞0時，h（x）是增函數，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解為x₂=1，
∴代入方程組解得m=

1

2

；

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．