Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，且不等式log₂（ax²-3x+6）＞2的解集為{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將不等式log₂（ax²-3x+6）＞2轉(zhuǎn)化為ax²-3x+2＞0，所給條件表明：ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1orx＞b}，根據(jù)不等式解集的意義及方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1、x₂=b．結(jié)合利用韋達(dá)定理不難得出a，b．從而得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n公式．
（Ⅱ）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)利用拆項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式log₂（ax²-3x+6）＞2可轉(zhuǎn)化為ax²-3x+2＞0，
所給條件表明：ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1orx＞b}，根據(jù)不等式解集的意義
可知：方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1、x₂=b．
利用韋達(dá)定理不難得出a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，s_n=n²…（6分）
（Ⅱ）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
則Tn=b 1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

 )]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列的求和、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．