Question

某人要建造一面靠舊墻的矩形籬笆，地面面積為24m²、高為1m，舊墻需維修，其它三面建新墻，由于地理位置的限制，籬笆正面的長度x米，不得超過a米（a＞1），正面有一扇1米寬的門，其平面示意圖如圖．已知舊墻的維修費用為150元/m²，新墻的造價為450元/m²．
（Ⅰ）把籬笆總造價y元表示成x米的函數，并寫出該函數的定義域；
（Ⅱ）當x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

Answer 1

分析：（I）籬笆由三部分構成，先表示出籬笆的寬，然后把籬笆總造價y元表示成x米的函數，根據籬笆正面的長度x米，不得超過a米，正面有一扇1米寬的門，可求出定義域；
（II）討論a與6的大小，當a≥6時利用基本不等式進行求最值，當1＜a＜6時利用導數法求出最值，注意解題格式即可．

解答：解：（I）依題意得：y=(x-1)×1×450+x×1×150+

24

x

×2×1×450（1＜x＜a）∴y=600(x+

36

x

)-450，(1＜x＜a)
（II）①當a≥6時，y=600(x+

36

x

)-450≥600

36 x ×x

-450=3150
當且僅當 x=

36

x

即 x=6時取等號，此時總造價最低為3150元
②當1＜a＜6時，y′=600(1-

36

x2

)=600

(x2-36)

x2

=0，x₁=6，x₂=-6∵1＜x＜a，且1＜a≤6
∴函數在（1，a）上為減函數
當x=a時，ymin=600(

36

a

+a)-450
答：當a≥6時，總造價最低為3150元；x=a時，總造價最低600(

36

a

+a)-450元

點評：觀察函數特點：為一個含有兩個部分，這兩部分的積為一個常數，求和的最值，所以利用基本不等式求最值，以及利用導數法求最值，解題的關鍵是討論a的范圍．