Question

（2013•臨沂一模）已知O是坐標(biāo)原點，點M的坐標(biāo)為（2，1），若點N（x，y）為平面區(qū)域

x+y≤2 x≥ 1 2 y≥x

上的一個動點，則

OM

•

ON

的最大值是

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，得

OM

•

ON

=2x+y．作出題中不等式組表示的平面區(qū)域得到如圖的陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=y=1時，z=2x+y達(dá)到最大值，即

OM

•

ON

取得最大值．

解答：解：∵M(jìn)（2，1），N（x，y），∴目標(biāo)函數(shù)z=

OM

•

ON

=2x+y
作出不等式組

x+y≤2 x≥ 1 2 y≥x

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（

1

2

，

1

2

），B（1，1），C（

1

2

，

3

2

）
設(shè)z=F（x，y）=2x+y，將直線l：z=2x+y進(jìn)行平移，
當(dāng)l經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z_最大值=F（1，1）=3
故答案為：3

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=

OM

•

ON

的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．