Question

若當時，函數f（x）=x²+px+q與函數在同一點處取得相同的最小值，則函數f（x）在上的最大值是________．

Answer 1

4
分析：利用基本不等式可求得g（x）=x+x+≥3（當x=1時取“=”），從而可求得p=-2，q=4，從而可求得f（x）在上的最大值．
解答：∵x∈[，2]，g（x）=x+x+≥3（當且僅當x=1時取“=”），
∵數f（x）=x²+px+q與函數在同一點處取得相同的最小值，
∴f（x）=x²+px+q在x=1處取到最小值3，而x∈[，2]，
∴-=1，p=-2．
∴f（1）=1²-2×1+q=3，
∴q=4．
∴f（x）=x²-2x+4，
∵f（x）=x²-2x+4在[，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，且2到x=1的距離大于到x=1的距離，二次函數開口向上，
∴x∈[，2]，f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案為：4．
點評：本題考查基本不等式，通過基本不等式的應用考查二次函數在閉區間上的單調性與最值，考查分析轉化與運算的能力，屬于中檔題．