Question

（2013•普陀區(qū)二模）若圓C的半徑為3，單位向量

e

所在的直線與圓相切于定點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則

e

•

AB

的最大值為

3

．

Answer 1

分析：設(shè)

e

，

AB

的夾角為θ，過(guò)C作CM⊥AB，則AB=2AM，然后結(jié)合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函數(shù)的定義可用θ表示AM，代入向量的數(shù)量積的定義

e

•

AB

=|

e

||

AB

|cosθ，最后結(jié)婚二倍角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解

解答：解：設(shè)

e

，

AB

的夾角為θ
過(guò)C作CM⊥AB，垂足為M，則AB=2AM
由過(guò)點(diǎn)A的直線與圓相切，結(jié)合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中，由三角函數(shù)的定義可得，sin∠ACM=sinθ=

AM

3

∴AM=3sinθ，AB=6sinθ
∵

e

•

AB

=|

e

||

AB

|cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3
當(dāng)sin2θ=1即θ=45°時(shí)取等號(hào)
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義，弦切角定理及三角函數(shù)的定義的綜合應(yīng)用，試題具有一定的靈活性