Question

如右圖，在直三棱柱中，；點、分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為.

    （Ⅰ）求異面直線與的距離；

    （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）因，且，故面A₁ABB₁，從而B₁C₁⊥B₁E，又

              B₁E⊥DE，故B₁E是異面直線B₁C₁與DE的公垂線.

              設BD的長度為，則四棱椎的體積為而直三棱柱的體積為.

              由已知條件，故，解得.

              從而B₁D.

              又直角三角形中，

              ,

              又因.

              故.

（Ⅱ）如右圖，過B₁作B₁F⊥C₁D，垂足為F，

連接A₁F.因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，

故A₁B₁⊥面B₁DC₁，由三垂線定理知C₁D⊥A₁F，

故∠A₁FB₁為所求二面角的平面角.

              在直角中，，

              又因，故

              ，所以.