Question

解關于x的不等式x²-2mx+m+1＞0．

Answer 1

分析：先求△=4（m²-m-1），再分三種情況討論
①△＞0，求出方程的實數根，解出不等式即可；
②△=0，求出方程的實數根，解出不等式即可；
③△＜0，解出不等式即可．

解答：解：△=4（m²-m-1），
 ①當△＞0時，即m＞

1+ 5

2

或m＜

1- 5

2

時，
方程x²-2mx+m+1=0有二實數根：x₁=m-

m2-m-1

，x₂=m+

m2-m-1

．
∴原不等式的解集為{x|x＜m-

m2-m-1

或x＞m+

m2-m-1

}．
②當△=0，即m=

1± 5

2

時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠m}．
③當△＜0，即

1- 5

2

＜m＜

1+ 5

2

時，方程無實數根．∴原不等式的解集為R．
綜上可知，當m＞

1+ 5

2

或m＜

1- 5

2

時，不等式的解集為{x|x＜m-

m2-m-1

或x＞m+

m2-m-1

}；
當m=

1± 5

2

時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠m}；
當

1- 5

2

＜m＜

1+ 5

2

時，原不等式的解集為R．

點評：本題主要考查了含參數的一元二次不等式的解法，重在考查分類討論的思想在解題中的應用，注意分類時要不重不漏．