Question

已知以向量v=為方向向量的直線l過點，拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點N，若·+p²=0 （O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程.

Answer 1

（1）y²=4x（2）點N的軌跡方程為x=-2(y≠0)

解析:

（1）由題意可得直線l的方程為y=x+,                                                ①

過原點垂直于l的直線方程為y=-2x.                                                         ②

解①②得x=-.

∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，

∴-=-×2, p=2.

∴拋物線C的方程為y²=4x.

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(x,y),由題意知y=y₁.

由·+ p ²=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0,

又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,解得y₁y₂=-8,                                                                ③

直線ON：y=x，即y=x.                                                                  ④

由③、④及y=y₁得點N的軌跡方程為x=-2(y≠0).