Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若m=4，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，5]的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題（1）可以去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段二次函數(shù)，利用閉區(qū)間上求最值的方法，可以求得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，5]的值域；
     （2）同上，先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段的二次函數(shù)，利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性可以求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=

x2-2x-3(x≥4) -x2+6x-3(x＜4)

=

(x-1)2-4(x≥4) -(x-3)2+6(x＜4)

（ 6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上遞增，在[3，4]上遞減，在[4，5]上遞增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域為[2，12]（ 10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=

x2-(m-2)x-3(x≥m) -x2+(m+2)x-3(x＜m)

=

(x- m-2 2 )2-3-( m-2 2 )2(x≥m) -(x- m+2 2 )2-3+( m+2 2 )2(x＜m)

因為f（x）在R上為增函數(shù)，所以

m-2 2 ≤ m m+2 2 ≥ m

-2≤m≤2．  （15分）

點評：本題考查絕對值函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求值域及利用性質(zhì)求參數(shù)的范圍，解決的關(guān)鍵是先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段的二次函數(shù)，再利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決．