Question

若不等式+++…+>對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并證明你的結論.

Answer 1

解法一：當n=1時，+>，

即> ，

∴a<26.又a∈N^*，

∴a的最大值應為25.下面用數學歸納法證明++…+>.

（1）n=1時，已證.

（2）假設n=k時，++…+>成立.

當n=k+1時，有

++…++++=（++…+）+（++－）>+［+－］.

∵+=>，

∴+ －>0.

∴++…+>也成立.

由（1）（2）可知，對一切n∈N^*，都有++…+> .

∴a的最大值為25.

解法二：令f（n）=++…+.

∵f（n）－f（n+1）=－－－

=－=<0，

∴f（n）<f（n+1），

即f（n）是增數列.

∴f（n）≥f（1）=++=.

又f（n）>恒成立，

∴> ，即a<26.

∴正整數a的最大值為25.

點評：解法二使用了函數思想，利用了函數的單調性，使得證明更簡潔.