Question

18．若函數f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1對于a∈[-1，1]時恒有f（x）＜0，則實數x的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （-∞，1）∪（2，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 把原函數整理成關于a的一次函數，利用一次函數的單調性求得函數在[-1，1]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范圍．

解答 解：函數可整理為f（x）=（x²-x+1）a+1-x
∵對于a∈[-1，1]時恒有f（x）＜0，
∴（x²-x+1）a+1-x＜0恒成立．
令g（a）=（x²-2x+1）a+1-x
則函數g（a）在區間[-1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）為一次函數，且一次項系數x²-2x+1＞0，
∴函數g（a）在區間[-1，1]上單調遞增，
∴g（a）_max=g（1）=x²-2x+1+1-x=x²-3x+2＜0
解得1＜x＜2
故選：A

點評 本題主要考查了利用函數的單調性求函數最大值．在把恒成立問題轉化為求函數的最值問題的過程中，體現了轉化的思想．