Question

對于函數y=f（x），四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質
甲：對于x∈R，都有f（x）=f（2-x）；    乙：在（-∞，0]上函數單調遞減；
丙：在（0，+∞）上函數單調遞增；       丁：f（0）不是函數的最小值．
如果其中恰有3人說法正確，請寫出一個這樣的函數

f（x）=|x-1|

．

Answer 1

分析：本題給出了一個函數的四條性質，我們可以從第一條性質入手，得到函數的一條對稱軸是x=1，聯想把以y軸為對稱軸的函數向右平移一個單位，再根據函數在（-∞，0]上單調遞減，可考慮函數y=|x|，把y=|x|右移1各單位得y=|x-1|，此函數符合f（0）不是函數的最小值．

解答：解：首先讓寫出的函數滿足學生甲指出的性質，即對于x∈R，都有f（x）=f（2-x），此時取x=x+1，則有f（1+x）=f（1-x），即函數的一條對稱軸方程為x=1，然后保證函數在（-∝，0]上單調遞減，可考慮函數f（x）=|x-1|，此函數最小值為f（1），符合f（0）不是最小值．
故答案為f（x）=|x-1|．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，根據給出的函數的幾條性質，結合平時所學知識寫出符合所給性質的一個函數，提高了學生的發(fā)散思維能力．