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4.如圖所示,直三棱柱ABC-A′B′C中,∠ABC=90°,AB=BC=BB′=2,D為底棱AC的中點.
(1)求證:A′B⊥平面AB′C′;
(2)過B′C′以及點D的平面與AB交于點E,求證:E為AB中點;
(3)求三棱錐D-AB′C′的體積.

分析 (1)推導出A′B⊥AB′,B′C′⊥A′B,由此能證明A′B⊥平面AB′C′.
(2)推導出B′C′∥DE,從而DE∥BC,由此能證明E為AB中點.
(3)以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出三棱錐D-AB′C′的體積.

解答 證明:(1)∵直三棱柱ABC-A′B′C中,∠ABC=90°,AB=BC=BB′=2,
∴A′B⊥AB′,AA′⊥BC,AB⊥BC,
∵AB∩AA′=A,∴BC⊥平面ABB′A′,
∵BC∥B′C′,∴B′C′⊥平面ABB′A′,
∵A′B?平面ABB′A′,∴B′C′⊥A′B,
∵AB′∩B′C′=B′,∴A′B⊥平面AB′C′.
(2)∵D為底棱AC的中點,
過B′C′以及點D的平面與AB交于點E,
∴B′C′與DE共面,
∵平面ABC∥平面A′B′C′,∴B′C′∥DE,
∵B′C′∥BC,∴DE∥BC,
∵D是AC的中點,∴E為AB中點.
解:(3)以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,建立空間直角坐標系,
∵AB=BC=BB′=2,D為底棱AC的中點,
∴D(1,1,0),A(2,0,0),B′(0,0,2),C′(0,2,2),
$\overrightarrow{AD}$=(-1,1,0),$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=(-2,0,2),$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=(-2,2,2),
設平面AB′C′的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{A{C}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2y+2z}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1),
∴點D到平面AB′C′的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
${S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$=$\frac{1}{2}×A{B}^{'}×{B}^{'}{C}^{'}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4+4}×2$=2$\sqrt{2}$,
∴三棱錐D-AB′C′的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$×d=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$.

點評 本題考查線面垂直的證明,考查點為直線的中點的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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