Question

已知函數f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R．若關于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有兩個不同實根，則實數a的取值范圍

(-4，-2

3

)

．

Answer 1

分析：利用換元法將函數轉化為關于t的一元二次函數，利用一元二次函數根的分布進行求解．

解答：解：設t=2^x，∵x＞0，∴t＞1，
即函數f（x）=4^x+a•2^x+3等價為g（t）=t²+a•t+3在在（1，+∞）上有兩個不同零點，
∵g（0）=3＞0，
∴滿足

- a 2 ＞0 g(1)＞0 △=a2-12＞0

，
∴

a＜0 1+a+3＞0 a＞2 3 或a＜-2 3

，即

a＜0 a＞-4 a＞2 3 或a＜-2 3

，
∴-4＜a＜-2

3

．
故實數a的取值范圍（-4，-2

3

），
故答案為：（-4，-2

3

）．

點評：本題主要考查函數零點的應用，利用換元法將函數轉化為關于t的一元二次函數，利用一元二次函數根的分布進行求解是解決本題的關鍵．