Question

【題目】在數列{an}中，a1=1，an+1= （n=1，2，3，…），
（1）計算a1 ， a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想an的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a1=1，an+1= ，

∴a2= = ，a3= = ，a4= =

（2）

解：由（1）可以猜想an= ．

用數學歸納法證明：

（ⅰ）當n=1時，a1= =1，所以當n=1時猜想成立．

（ⅱ）假設當n=k（k∈N*）時猜想成立，即ak= ，

當n=k+1時，ak+1= = =

所以當n=k+1時猜想也成立．

由（ⅰ）和（ⅱ）可知，猜想對任意的n∈N*都成立．

所以an=

【解析】（1）利用數列遞推式，代入計算可得結論；（2）利用（1）的結論，猜想an的表達式，再用數學歸納法證明．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．