Question

已知圓C：x²+y²=1，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線x-y-2=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍是（　　）

A．[-1，1]

B．[0，1]

C．[-2，2]

D．[0，2]

Answer 1

過P作⊙C切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反過來，如果∠OPR≥30°，則存在⊙C上點(diǎn)Q使得∠OPQ=30°．
∴若圓C上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ=30°，則∠OPR≥30°
∵|OR|=1，∴|OP|＞2時(shí)不成立，∴|OP|≤2．
∵|OP|²=x₀²+y₀2=x₀²+（x₀-2）²=2x₀²-4x₀+2
∴2x₀²-4x₀+2≤2，解得，0≤x₀²≤2∴x₀的取值范圍是[0，2]
故選D