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已知函數y=|cosx+sinx|.
(1)畫出函數在x∈[-
π
4
,
4
]的簡圖;
(2)寫出函數的最小正周期和單調遞增區間;試問:當x為何值時,函數有最大值?最大值是多少?
(3)若x是△ABC的一個內角,且y2=1,試判斷△ABC的形狀.
分析:(1)化簡函數y=|cosx+sinx|為
2
|
sin(x+
π
4
)
|,然后畫出函數在x∈[-
π
4
,
4
]的簡圖;
(2)直接求出函數的最小正周期和單調遞增區間;結合圖象容易推出,函數的最大值,以及x的值.
(3)x是△ABC的一個內角,且y2=1,求出x的值,從而判斷△ABC的形狀.
解答:精英家教網解:(1)∵y=|cosx+sinx|=
2
|
sin(x+
π
4
)
|,當x∈[-
π
4
4
]時,其圖象如圖所示.

(2)函數的最小正周期是π,其單調遞增區間是[kπ-
π
4
,kπ+
π
4
](k∈Z).
由圖象可以看出,當x=kπ+
π
4
(k∈Z)時,該函數的最大值是
2

(3)若x是△ABC的一個內角,則有0<x<π,
∴0<2x<2π.由y2=1,
得|cosx+sinx|2=1?1+sin2x=1.
∴sin2x=0,∴2x=π,x=
π
2

故△ABC為直角三角形.
點評:本題考查余弦函數的圖象,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象,三角函數的最值,考查作圖能力,計算能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數y=cos(x+
π3
).
(1)用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區間上的簡圖;
(2)求使函數y取最大值和最小值時自變量x的集合,并求出它的最大值和最小值;
(3)指出該函數的增區間.

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2
2

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(2013•無為縣模擬)已知函數y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數y=cos(
1
4
x+
π
3
)

(1)求函數的最小正周期;
(2)求函數的對稱軸及對稱中心;
(3)求函數的單調增區間.

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同步練習冊答案
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