Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
設矩陣．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（II）若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C'：x²-2y²=1，求a+b的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合．圓C的參數方程為（α為參數），點Q極坐標為．
（Ⅰ）化圓C的參數方程為極坐標方程；
（Ⅱ）若點P是圓C上的任意一點，求P、Q兩點距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|x+1|+|x-2|．
（Ⅰ）求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥4的解集為A，求集合A．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I）設矩陣M的逆矩陣，則，建立方程組，即可求得所求的逆矩陣；
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P'（x'，y'），可得，利用點P'（x'，y'）在曲線C'上，可得曲線C的方程，根據已知曲線C的方程，比較系數可得結論；
（2）（I）先求圓C的普通方程，展開，再化為極坐標方程；
（II）點Q的直角坐標為（2，-2），且點Q在圓C內，求出，可得P，Q兩點距離的最小值；
（3）（I）利用絕對值的運用，寫出分段函數，從而可求y=f（x）的最小值；
（II）利用分段函數，根據f（x）≥4，列出不等式，即可求得不等式f（x）≥4的解集．
解答：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
解：（I）設矩陣M的逆矩陣，則．又，
所以，所以x₁+2x₂=1，3x₁+x₂=0，y₁+2y₂=0，3y₁+y₂=1，
即，
故所求的逆矩陣．…（4分）
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P'（x'，y'），則，即，…（5分）
又點P'（x'，y'）在曲線C'上，所以x'²-2y'²=1，則（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+4xy+2y²=1，
比較系數可得，解得b=0，a=2，∴a+b=2．…（7分）
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
解：（I）圓C普通方程為（x-1）²+（y+1）²=4，
展開得x²+y²-2x+2y-2=0，…（2分）
化為極坐標方程為ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0．      …（4分）
（II）點Q的直角坐標為（2，-2），且點Q在圓C內，
因為，所以P，Q兩點距離的最小值為．    …（7分）
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
解：（I）所以y=f（x）的最小值為3．…（4分）
（II） 由（I）可知，當x≤-1時，f（x）≥4，即-2x+1≥4，此時；
當x≥2時，f（x）≥4，即2x-1≥4，此時．
因此不等式f（x）≥4的解集為A為{|或}．      …（7分）
點評：本題考查選修知識，考查矩陣與變換，考查坐標系與參數方程，考查不等式選講，綜合性強．