Question

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且與以點(diǎn)A(2,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線S的一個(gè)頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱,設(shè)直線l過點(diǎn)A,斜率為k.如圖.

(1)求雙曲線S的方程;

(2)當(dāng)k=1時(shí),在雙曲線S的上支上,求點(diǎn)B,使其與直線l的距離為.

Answer 1

解:(1)設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0).

∵A(,0)關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)為A′(0,),

∴a=2,漸近線方程為y=±x.

由y=x與圓A:(x-)²+y²=1相切得.

故雙曲線方程為y²-x²=2.

(2)若B(x,)是雙曲線S的上支上到直線l:y=x-2的距離為的點(diǎn),

即

∴|-x|=2,+-x=2.

移項(xiàng)平方解得x=,=2,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(,2).