Question

【題目】已知圓C方程為，橢圓中心在原點，焦點在x軸上.

（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；

（2）判斷直線與圓C的位置關系，并證明你的結論；

（3）當時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線，的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；定點（2）直線與圓C相切；證明見解析；（3）存在；，或者，

【解析】

（1）根據題意得到，解得答案.

（2）將圓化為標準形式，計算圓心到直線的距離與半徑作比較得到答案.

（3）根據準線和橢圓過點計算得到，得到橢圓方程，設定點，，計算為定值，得到，計算得到答案.

（1）圓C的方程可化為：，

由，解得，所以圓C過定點.

（2）圓C的方程可化為：，

圓心到直線l的距離為，

所以直線與圓C相切.

（3）當時，圓C方程為，圓心為，半徑為10，

與直線，即相切，所以橢圓的左準線為，

又橢圓過點，則，所以，解得，

所以橢圓方程為.

在橢圓上任取一點（），設定點，，

則對恒成立，

所以對恒成立，

所以，故或，

所以，或者，.