Question

已知函數f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函數F（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區間；
（3）設函數，若方程G（x）=a²有且僅有四個解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）先求導函數，
由條件，g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0．
∴，即，
∴，
∴．
（2）由，其定義域為（0，+∞），，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，則x＞1，即F（x）的單調遞增區間為（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等價于（x-1）（-3ax-1）＜0，
當，則（x-1）²＜0，無解，即F（x）無單調增區間，
當，則，即F（x）的單調遞增區間為，
當，則，即F（x）的單調遞增區間為．
（3）
當x＞0時，，，
令g′（x）=0，得x=1，且當x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有極小值，即最小值為．
當x≤0時，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a²不可能有四個解；-----------------------------（12分）
②若a＜0時，當x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，當x∈（-1，0），f′（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，0]上有極小值，即最小值為f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的圖象如圖1所示，
從圖象可以看出方程G（x）=a²不可能有四個解．----------（14分）
③若a＞0時，當x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，當x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有極大值，即最大值為f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的圖象如圖2所示，
從圖象可以看出方程G（x）=a²若有四個解，
必須，
∴．
綜上所述，滿足條件的實數a的取值范圍是．
分析：（1）先求導函數，由條件，g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0，可建立方程，從而可求g（x）的解析式；
（2）確定函數的定義域，再求導函數，利用導數大于0，得到函數的單調增區間，利用導數小于0，得到函數的單調減區間；
（3）分類討論，當x＞0時，，g（x）在（0，+∞）上有極小值，即最小值為．當x≤0時，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=-1，再對a進行討論，結合函數的圖象，就可求出滿足條件的實數a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，同時考查分類討論、數形結合的數學思想，綜合性強．