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已知數(shù)列{an}滿足:a1=
1
4
,a2=
3
4
,an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1<0,3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)求證:數(shù){bn-an}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列;
(Ⅲ)若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí),Sn取得最小值,求b1的取值范圍.
分析:(Ⅰ)可以先根據(jù)數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式求的數(shù)列的通項(xiàng),再有數(shù)列{bn}滿足的關(guān)系,將an 與bn作差化簡即可獲得解答;
(Ⅱ)先結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論求的通項(xiàng)公式bn-an,又?jǐn)?shù)列{an}的通項(xiàng)知道,故可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng),通過通項(xiàng)研究即可解答;(Ⅲ)結(jié)合數(shù)列的變化將問題轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)的不等關(guān)系,解方程組即可獲得解答.
解答:解:(Ⅰ)2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)∴{an}是等差數(shù)列.
又a1=
1
4
,a2=
3
4

∴an=
1
4
+(n-1)-
1
2
=
2n-1
4

bn=
1
3
bn-1+
n
3
(n≥2,n∈N*),
∴bn+1-an+1=
1
3
bn+
n+1
3
-
2n+1
4
=
1
3
bn
-
2n-1
12
=
1
3
(bn-
2n-1
4
)=
1
3
(bn-an).
又∵b1-a1=b1-
1
4
≠0
∴{bn-an}是以b1-
1
4
為首項(xiàng),以
1
3
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅱ)bn-an=(b1-
1
4
)•(
1
3
)
n-1
an=
2n-1
4
,bn=(b1-
1
4
(
1
3
)
n-1
+
2n-1
4

當(dāng)n≥2時(shí)bn-bn-1=
1
2
-
2
3
(b1-
1
4
1
3
n-2

又b1<0,∴bn-bn-1>0
∴{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
(Ⅲ)∵當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí),Sn取最小值.
b3<0
b4>0

5
4
+(b1-
1
4
)(
1
3
)
2
 < 0
7
4
+(b1-
1
4
(
1
3
)
3
> 0

∴b1∈(-47,-11).
點(diǎn)評:本題考查的是數(shù)列的遞推公式問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了運(yùn)算的能力、函數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能能力.值得同學(xué)們體會(huì)反思.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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