Question

已知數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數列？若存在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；

（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為．

Answer 1

【解】（1）當時，；

當時，，

    所以；

綜上所述，．                             ……………………3分

   （2）當時，若存在p，r使成等差數列，則，

因為，所以，與數列為正數相矛盾，因此，當時不存在； ……5分

    當時，設，則，所以，………………7分

    令，得，此時，，

    所以，，

    所以；

綜上所述，當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設.

……………………10分

（3）作如下構造：，其中，

它們依次為數列中的第項，第項，第項， ……12分

顯然它們成等比數列，且，，所以它們能組成三角形．

由的任意性，這樣的三角形有無窮多個．             ……………………14分

下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似：

若三角形和相似，且，則，

整理得，所以，這與條件相矛盾，

因此，任意兩個三角形不相似．

故命題成立．                                            ……………………16分

    【注】1．第（2）小題當a_k不是質數時，p，r的解不唯一；

2.  第（3）小題構造的依據如下：不妨設，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因為三項均為整數，所以為內的既約分數且含平方數因子，經驗證，僅含或時不合，所以；

      3．第（3）小題的構造形式不唯一．