Question

已知雙曲線的一條漸近線為x+

3

y=0，且與橢圓x²+4y²=64有相同的焦距，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：橢圓方程為

x2

64

+

y2

16

=1，可知橢圓的焦距為8

3

，雙曲線的一條漸近線為x+

3

y=0，可分雙曲線的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，進行分類討論，利用待定系數法，確定雙曲線的標準方程．

解答：解：橢圓方程為

x2

64

+

y2

16

=1，可知橢圓的焦距為8

3

①當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴

a2+b2=48 b a = 3 3

解得

a2=36 b2=12

∴雙曲線的標準方程為

x2

36

-

y2

12

=1（6分）
②當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴

a2+b2=48 a b = 3 3

解得

a2=12 b2=36

∴雙曲線的標準方程為

y2

12

-

x2

36

=1
由①②可知，雙曲線的標準方程為

x2

36

-

y2

12

=1或

y2

12

-

x2

36

=1（12分）

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程與幾何性質，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．