Question

已知實數(shù)x，y滿足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則z=

x2+y2

xy

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z₁=

y

x

，再利用z₁的幾何意義求最值得出

y

x

的取值范圍，最后將z=

x2+y2

xy

表示為

y

x

的函數(shù)，即可解出答案．

解答：解：在平面直角坐標(biāo)系上作出可行域后，
原點與可行域內(nèi)任意一點的連線的斜率即

y

x

，
易求當(dāng)連線過點A（1，2）時最大，最大值為2；當(dāng)連線過點B（3，1）時最小，最小值為

1

3

；
∴

y

x

∈[

1

3

，2]，

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

=t+

1

t

，t∈[

1

3

，2]
故

x2+y2

xy

∈[2，

10

3

]
故答案為：[2，

10

3

]．

點評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點、定出最優(yōu)解．