Question

（1）試作出函數(shù)y=x+

1

x

的圖象；
（2）對每一個實數(shù)x，三個數(shù)-x，x，1-x²中最大者記為y，試判斷y是否是x的函數(shù)？若是，作出其圖象，討論其性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性、最值）；若不是，說明為什么？

Answer 1

分析：先作出x＞0時的f（x）的圖象，再根據(jù)其為奇函數(shù)的性質(zhì)，作出對稱區(qū)間上的圖象；

解答：解：（1）∵f(x)=x+

1

x

，∴f（x）為奇函數(shù)，
從而可以作出x＞0時f（x）的圖象，
又∵x＞0時，f（x）≥2，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到
∴x=1時，f（x）的最小值為2，圖象最低點為（1，2），
又∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
同時f(x)=x+

1

x

＞x(x＞0)隨著x的增大，f（x）與x的值越來越接近，即以y=x為漸近線，
于是x＞0時，函數(shù)的圖象應(yīng)為下①，f（x）圖象為圖②：

（2）y是x的函數(shù)，作出g₁（x）=x，g₂（x）=-x，g₃（x）=1-x²的圖象可知，
f（x）的圖象是圖③中實線部分．定義域為R；值域為[1，+∞）；單
調(diào)增區(qū)間為[-1，0），[1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），[0，1）；
當(dāng)x=±1時，函數(shù)有最小值1；函數(shù)無最大值．

點評：考查奇函數(shù)圖象的作法，分段函數(shù)圖象的作法，對作圖的準(zhǔn)確性要求較高．