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已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球,現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.
(Ⅰ)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率;
(Ⅱ)設“從甲盒內取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A;“從乙盒內取出的2個球都是黑球”為事件B,求在事件A發生的條件下,事件B發生的概率;
(Ⅲ)設ξ為取出的4個球中紅球的個數,求ξ的分布列和數學期望.
分析:(Ⅰ)設“從甲盒內取出的2個球均為黑球;從乙盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件C,“從甲盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D.由事件C、D互斥,能求出取出的4個球中恰有1個紅球的概率.
(Ⅱ)先求出P(A),再由P(AB)=P(D),由此利用條件概率公式P(B/A)=
P(AB)
P(A)
能求出在事件A發生的條件下,事件B發生的概率.
(Ⅲ)由題設知ξ可能的取值為0,1,2,3,分別求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3,由此能求出ξ的分布列的數學期望.
解答:解:(Ⅰ)設“從甲盒內取出的2個球均為黑球;從乙盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件C,“從甲盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D.由于事件C、D互斥,
則P(C)=
C
2
3
C
2
4
C
1
2
C
1
4
C
2
6
=
4
15

P(D)=
C
1
3
C
2
4
C
2
4
C
2
6
=
1
5

∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為
P(C+D)=P(C)+P(D)=
4
15
+
1
5
=
7
15

(Ⅱ)∵“從甲盒內取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A,
∴P(A)=
C
1
1
C
1
3
C
2
4
=
1
2

∵“從乙盒內取出的2個球都是黑球”為事件B,
∴P(AB)=P(D)=
1
5

∴在事件A發生的條件下,事件B發生的概率P(B/A)=
P(AB)
P(A)
=
1
5
1
2
=
2
5

(Ⅲ)由題設知ξ可能的取值為0,1,2,3,
由(Ⅰ)、(Ⅱ)得P(ξ=0)=
C
2
3
C
2
4
C
2
4
C
2
5
=
1
5

P(ξ=1)=
7
15

P(ξ=3)=
C
1
3
C
2
4
1
C
2
6
=
1
30

∴P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
3
10

∴ξ的分布列為

∴ξ的數學期望Eξ=0×
1
5
+1×
7
15
+2×
3
10
+3×
1
30
=
7
6
.…(12分)
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列與數學期望的求法,考查條件概率的求法,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球.現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.
(Ⅰ)求取出的4個球均為黑球的概率;
(Ⅱ)設ξ為取出的4個球中紅球的個數,求ξ的分布列(要求畫出分布表格)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球.現在先從甲盒內一次隨機取2個球,再從乙盒內一次隨機取出2個球,甲盒內每個球被取到的概率相等,乙盒內每個球被取到的概率也相等.
(Ⅰ)求取出的4個球都是黑球的概率;
(Ⅱ)求取出的4個球中恰有3個黑球的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的x個紅球和4個黑球.現在先從甲盒內一次隨機取2個球,再從乙盒內一次隨機取出2個球,甲盒內每個球被取到的概率相等,乙盒內每個球被取到的概率也相等.已知取出的4個球都是黑球的概率
15

(I)求乙盒內紅球的個數x;
(II)設ξ為取出的4個球中紅球的個數,求ξ的分布列和數學期望.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知甲盒內有大小相同的2個紅球和2個黑球,乙盒內有大小相同的3個紅球和3個黑球.現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.
(Ⅰ)求取出的4個球均為紅球的概率;
(Ⅱ)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和2個黑球,且分別標記為:1(紅)、2、3號;乙盒內有大小相同的2個紅球和1個黑球,且分別標記為:4(紅)、5(紅)、6號.現從甲、乙兩個盒內各任取1個球.
(Ⅰ)試列舉出所有的基本事件,并求取出的2個球均為紅球的概率;
(Ⅱ)求取出的2個球中恰有1個紅球的概率.

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