Question

若過點A（0，-1）的直線l與曲線x²+（y-3）²=12有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為（　　）

• A、(-

  3

  3

  ， 

  3

  3

  )
• B、[-

  3

  3

  ， 

  3

  )
• C、(-∞， -

  3

  )∪(

  3，

   +∞)
• D、(-∞， -

  3

  3

  ]∪[

  3

  3

  ， +∞)

Answer 1

分析：當直線l的斜率存在時，由直線l過已知點A，寫出直線l的方程，然后由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑，因為直線l與圓有公共點，所以圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，由直線l過（0，-1），
得到直線l的方程為：y+1=kx，即kx-y-1=0，
由圓的方程找出圓心坐標為（0，3），圓的半徑r=2

3

，
因為直線l與圓有公共點，所以圓心到直線l的距離d=

|4|

1+k2

≤r=2

3

，
化簡得：（k+

3

3

）（k-

3

3

）≥0，可化為：

k+ 3 3 ≥0 k- 3 3 ≥0

或

k+ 3 3 ≤0 k- 3 3 ≤0

，解得：k≥

3

3

或k≤-

3

3

，
則直線l的斜率的取值范圍為（-∞，-

3

3

]∪[

3

3

，+∞）．
故選D

點評：此題考查學生掌握直線與圓有公共點時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．