Question

f（x）是定義在R上的函數，且對任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1成立．當x＞0時，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）證明：f（x）在R上是增函數；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）f（4）=f（2）+f（2）-1，即可求出f（2）的值，
（2）要判斷函數的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）f（3m²-m-2）＜3，得f（3m²-m-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函數，得到3m²-m-2＜2，求出解集即可．

解答： 解：（1）f（4）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＞1．
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞f（x₁）
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數．
（3）∵由不等式f（3m²-m-2）＜3，
得f（3m²-m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函數，
∴3m²-m-2＜2，
∴3m²-m-4＜0，
∴-1＜m＜

4

3

，
∴不等式f（3m²-m-2）＜3的解集為（-1，

4

3

）．

點評：考查學生掌握判斷函數奇偶性能力和判斷函數增減性的能力，靈活運用題中已知條件的能力．