Question

已知△ABC 的內角A、B、C所對的邊為a，b，c，

m

=(bsinA，a-acosB)，

n

=(2，0)，且

m

與

n

所成角為

π

3

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過

m

與

n

所成角為

π

3

．推出A，B的關系式，利用正弦定理化簡，通過兩角和的正弦函數，求出角B的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的B的大小，推出A+C是值，把sinA+sinC化為一個角的三角函數的形式，然后求解它的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵

m

=(bsinA，a-acosB)與向量

n

=(2，0)所成角為

π

3

，∴

a-acosB

bsinA

=

3

，
由正弦定理可得：

sinA-sinAcosB

sinBsinA

=

3

∴

1-cosB

sinB

=

3

，∴

3

sinB+cosB=1，∴sin(B+

π

6

)=

1

2

．
又∵0＜B＜π，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

7π

6

∴B+

π

6

=

5π

6

，
∴B=

2π

3

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

π

3

-A）=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（

π

3

+A）．
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

．
所以sinA+sinC的范圍為(

3

2

，1]．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，正弦定理的應用，向量的數量積，考查轉化思想以及計算能力．